Реферат: Структура сходящихся последовательностей

,…

должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и a+e. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а₀ =0, имеем:

a_n =a_qm+r £a_m +a_m +…+a_m +a_r =qa_m +a_r ,

,

ЗАДАЧА № 2

Пусть числовая последовательность а₁ , а₂ , а₃ , … удовлетворяет условию

тогда существует конечный предел

,

причем

(n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2a_m -1<a_2m <2a_m +1 получаем:

(*)

Ряд

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

|a₁ |+2^-1 +2^-2 +2^-3 +…

запишем целое число n по двоичной системе:

n=2^m +e₁ 2^m-1 +e₂ 2^m-2 +…+e_m (e₁ , e₂ , …, e_m = 0 или 1)

согласно предположению

.

Применяя теорему (1) для данных:

s₀ =0, s₁ =, s_m-1 =, s_m =, …, p_n0 =0, p_n1 =, …, p_{n, m-1} =,

, p_{n, m+1} =0, …,

заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:

.

ЗАДАЧА № 3