Реферат: Структура сходящихся последовательностей

Пусть l₁ , l₂ , l₃ , … , l_m , … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l_n превосходит все следующие за ним члены l_n+1 , l_n+2 , l_n+3 ,…

ЗАДАЧА № 10

Пусть числовые последовательности

l₁ , l₂ , l₃ , … , l_m , … (l_m >0),

s₁ , s ₂ , s ₃ , … , s _m , … (s₁ >0, s_m+1 >s_m , m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

, .

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

l_n >l_n+1 , l_n >l_n+2 , l_n >l_n+3 , …

l_n s_n >l_n-1 s_n-1, l_n s_n >l_n-2 s_n-2, … l_n s_n >l₁ s_1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть l_m «выступающим» членом последовательности, если l_m больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

,…

Каждый невыступающий член l_v заключается (для v>n₁ ) между двумя последовательными выступающими членами, скажем n_r-1 <v<n_r . Имеем последовательно:

,

значит

(*)

отсюда заключаем, что

Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся последовательность
l₁ s₁ , l₂ s₂ , … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел ,… ; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть k – наименьший номер, для которого <h. Тогда:

k>m; .

ЗАДАЧА № 11

Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений

все не больше А, а бесконечное множество отношений

,…
все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем . Пусть минимум последовательности

L₀ -0, L₁ -A, L₂ -2A, L₃ -3A, …

Будет L_n -nA; тогда