Реферат: Структура сходящихся последовательностей

РЕШЕНИЕ:

Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s₁ , s₂ , …, s_n , … ограничены. Пусть , , l - целое положительное число, l>2 и .

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

-¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.

Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |s_n -s_n+1 |<d. Пусть, далее, s_n1 (n₁ >N) лежит в первом интервале и s_n2 (n₂ > n₁ ) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

Пусть для последовательности t₁ , t₂ , … , t_n , … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n

.

Тогда числа t₁ , t₂ , … , t_n , …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

Пусть v₁ , v₂ , … , v_n , … - положительные числа, v₁ £ v₂ £ v₃ … Совокупность предельных точек последовательности

, …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА № 6

Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l₁ , l₂ , l₃ , … , l_m , … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l_n меньше всех предшествующих ему членов последовательности l₁ , l₂ , l₃ , … , l_n-1 .

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел l₁ , l₂ , l₃ , … , l_m ; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть n – наименьший номер, для которого l_n <h. Тогда:

n>m; l_n <l₁ , l_n <l₂ , …, l_n <l_n-1 .