Реферат: Структура сходящихся последовательностей

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительно числовой последовательности l₁ , l₂ , l₃ , … , l_m , … предполагается лишь, что

.
Пусть, далее, А>l₁ . Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А®¥, то также n®¥.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l₁ +l₂ +l₃ +…+l_m =L_m , m=1, 2, 3, …; L₀ =0.

Так как L₁ -A<0, то L₀ -0 не является минимумом в предыдущем решении. l_n+1 ³A; поэтому l_n+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

Пусть числовая последовательность l₁ , l₂ , l₃ , … , l_m , … удовлетворяет условиям

,

Пусть, далее, l₁ >A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А®0, то также n®0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l₁ +l₂ +l₃ +…+l_m =L_m , m=1, 2, 3, …; L₀ =0.

Тогда . Последовательность

L₀ -0, L₁ -A, L₂ -2A, L₃ -3A, …, L_m -mA, …

стремится к -¥. Пусть ее наибольший член будет L_n -nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L₀ , L₁ , …, L_m , … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть L_s будет один из них. Тогда числа:

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L_n ) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.