Реферат: Температурный расчет с помощью вычислений информационной математики

с задаными началиными условиями на границах области дифференцирования.

При решении уравнения приблизительно заменю производные второго порядка конечно-разностными отношениями:

в результате чего диф.уравнение преобразуется в 5-ти диаганальную систему алгеброических уравнений n-го порядка.

Систему алгеброических уравнений буду решать методом Зейделя.

Погрешность решения задачи найду по формуле:

где, и -решения,полученные для одной и той же точки с разными шагами.

Функциональная схема.

Метод конечных разностей.

Описание метода.

Так назван метод решения краевых задач, основанный на приб­лиженной замене производных, входящих в дифференциальные урав­нения и краевые условия, нонечно-разностными отношениями. Эта замена позволяет свести краевую задачу к задаче решения системы алгебраических уравнений.

Конечные разности и производные.Пусть некоторая функция y(x) задана на отрезке [a,b]. Будем считать, что она непрерывна и многократно дифференциру­ема на этом отрезке. Разделим отрезок на равные части длиною h и обозначим точки деления x0,x1,...,xi,...,xn.Значе­ния функции в этих точках обозначим соответственно y0,y1,...,yi,...,yn.Первой центральной разностью в i-й точке (i=1,2,...,n-1) называют разность:

С помощью этой разности можно приближенно вычислить значение первой производной у` в i-й точке.

Разложим функцию y(x) в степенной ряд. приняв за центр разложения точку xi и ограничившись четырьмя членами:

где

Аналогично найдем значение ф-ции и в точке,отстоящей от центра разложения на шаг (-h):

где .

Подставляя получим:

Таким образом,производная y` приближонно заменяется конечно-разностным отношением с ошибкой порядка h*h:

Второй центральной разностью ф-ции y(x) в i-й точке называют величину:

С помощью этой разности можно приближонно вычислить значение второй производной y`` в i-й точке.Используем теперь 5 членов разложения в ряд Тейлора: