Реферат: Теореми про диференціальні функції

Виконала :

студентка групи Б–13

Довганюк Оксана

Перевірила :

Лугова Л.Б.

Коломия 2003 р.

– 1–

Правило Лопіталя

Теорема 1. Нехай в околі точки а задано неперервно диференційовані функції f (x ), φ (x ). Причому f (а ) = φ (а ) = 0. Тоді в разі існування границі відношення похідних цих функцій при х ® а існує і границя відношення самих функцій при х ® а :

(1)

Доведення. Розглянемо деякий відрізок з околу точки а , на якому для функцій f ( x ) і φ( x ) виконуються умови теореми Коші. Отже між точками а і х , знайдеться точка ξ, така що

або

(2)

Переходячи в рівності (2) до границі при х ® а і враховуючи теорему про границю частки двох функцій, дістаємо (1).

Зауваження 1. Правило Лопіталя можна застосувати кількаразово, якщо для відповідної функції або похідної виконуються умови теореми Коші.

L Зауваження 2. Функції f ( x ), φ ( x ) , які неперервними і диференційованими в околі точки х = а , у самій точці а можуть бути не визначеними. Але якщо існують границі

то можна застосувати правило Лопіталя до відношення

Якщо функції f ( x ) і φ ( x ) невизначені в точці х = а , то визначаємо значення функцій f ( x ) і φ ( x ) та їх граничні значення при х ® а :

це можна зробити, оскільки ми розглядаємо границю відношення функцій, припускаючи, що в околі точки а виконується умова теореми Коші.

Теорема 2. Нехай функції f ( x ) і φ ( x ) неперервні і диференційовані на пів прямій с < х < ¥ (– ¥ < х < с) , причому φ ( x ) на цій півпрямій не перетворюється на нуль і водночас виконуються рівності:

Тоді, якщо існує , то існує і та справджується рівність

. (3)

Доведення. Покладемо . Отже, якщо x ® ¥ , то z ® 0 . Маємо:

.

Розглянемо границю відношення

.

Якщо ця границя існує, то існує й границя .

На підставі здобутих результатів можемо розглядати границі відношення нескінченно малих величин.

Границя відношення нескінченно малих величин дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує у зазначеному щойно сенсі.

- Приклад

Теорема 3. Н ехай функції f ( x ) і φ ( x ) в околі точки х = а неперервні і диференційовані, причому φ¢(х ) ¹ 0 . Тоді в разі виконання рівностей та існування існує і

(4)

Доведення. Розглянемо деякий окіл точки а , в якому виконується умова теореми. У цьому околі візьмемо деяку точку й розглядатимемо х із інтервалу α < х < а ( аналогічно а < х < α ).

Застосуємо до відрізка теорему Коші:

Отже,

За умовою . Звідси випливає, що для будь–якого малого ε > 0 виконується нерівність

,

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--