Реферат: Теореми про диференціальні функції

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х₀ = 0:

(7)

де точка с знаходиться між 0 і х (с = q х, 0 < q < 1).

Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х – х₀ = D х, х = х₀ + D х:

(8)

Оскільки f (х₀ + D х) – f (х₀ )= D у, f ^(п) (х₀ ) D х^п = d ^п у , то формулу (8) можна записати у вигляді

. (9)

Покажемо, що коли функція f ^(п+1) (х) в околі точки х₀ обмежена, то залишковий член R_п (х ) при х ® х₀ є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х – х₀ )^п :

,

тому, що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини (це відомі формули для наближених обчислень за допомогою першого диференціала); з точністю до величини ½Dх ½³

;

з точністю до величини Dх⁴

.

Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х , для яких залишковий член R_п (х ) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене значення функції f (х) .

Многочлени Тейлора дають найкраще наближення функції f (х) у вигляді многочлен даного степеня поблизу точки х₀ . це треба розуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня які збігаються з функцією при х = х₀ , лише для многочлен Тейлора, величина виявляється найменшою.

Рис. 1

Із формули (3) видно, що залишковий член R_п (х ) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х₀ , якщо взяти достатньо великим порядок п многочлена Тейлора, тому, що факторіал при збільшенні п росте швидше степеня.

Приклади

1. Написати формулу Маклорена для функції f (х)= sin x і оцінити залишковий член. Побудувати функцію і чотири перших многочлени Тейлора.

◘ Оскільки

,

то

.

Підставивши значення похідних у формулу (7), дістанемо для функції f (х)= sin x формулу Маклорена

,

де с лежить між 0 і х .

Оскільки , то для залишкового члена справедлива оцінка

.

Нехай, наприклад, . Покладемо k = 4, тоді

.

Це означає, що наближена формула

дає змогу обчислювати значення sin x при х Î з точністю до п’яти знаків.

Неважко (за допомогою калькулятора) переконатись, що ця сама формула, але на проміжку наближає функцію sin x з точністю до 0,01. На рис. 2 показано, як із збільшенням степеня п розширюється „сфера дії” перших трьох многочленів Тейлора:

і т. д.

Рис.2

Оскільки функція f (х)= sin x і її многочлени Тейлора є функції непарні, то на рис. 2 зображена лише „половина” графіків.

2. знайти формулу Маклорена для функції f (х)= ln (1 + х ).

◘ Знаходимо значення даної функції і її похідних при х = 0: