Реферат: Теореми про диференціальні функції

3. Розкласти за формулою Маклорена функції:

а) б) в) , a Î R.

◘ Аналогічно до попереднього розв’язання маємо:

4. Знайти многочлен Тейлора для функції , який зображав би цю функцію на відрізку [-1; 1] з точністю до 0,001. Обчислити наближене значення е .

◘ З попереднього прикладу маємо

підберемо таке п , при якому модуль залишкового члена був би меншим від числа 0,001, маючи на увазі, що | х | £ 1, число с лежить між 0 і х та е^с < е^|х| < е:

Отже, п = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула

.

Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене значення числа е :

.

5. Знайти многочлен Тейлора Р ₃ (х – 1) третього степеня відносно двочлена х – 1 для функції .

◘ Маємо

Поклавши у формулі Тейлора (1) х₀ = 1 і п = 3, дістанемо

,

де с лежить між 1 і х , тому

.

Формулу (1) можна записати у вигляді

. (10)

Коли функція f (х) є многочленом Р_п (х ) степеня п , то похідна , тому формула (10) матиме вигляд

. (11)

Ця формула називається формулою Тейлора для многочлена.

Приклади

1. Розкласти многочлен Р₃ (х ) = 1 – 2х + 3х ² – 4х ³ за степенями бінома х + 1.

◘ Скориставшись формулою (11) при х ₀ = –1, маємо

тому

.

2. Розкласти многочлен Р_п (х ) = (b + x )ⁿ за степенями х .

◘ Маємо Р_п (0) = bⁿ , , тому, поклавши у формулі (11) Р_п (х ) = (b + x )ⁿ , х₀ = 0, дістанемо відому формулу бінома Ньютона:

(12)