Реферат: Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
1. Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:
Квадратною матрицею n -го порядку зветься матриця розміром n x n . Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці 
. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.
З матрицями можна здійснювати такі операції:
1. Множити на число
Приклад: 
2. Додавати матриці однакових розмірів:
Приклад: 
3. Множити матриці:
Приклад: 
Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n , яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i -го рядка матриці А та елементів j -го рядка матриці В, а саме: 
Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
Квадратна матриця порядку n , у якої єлементи 
, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n . Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n , Е – одинична матриця такого ж порядку.
Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо 
Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли 
.
Беспосередньо можна первірити, що для
Визначення: Число l називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик 
такий, що АХ=lХ. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню l.
Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння
. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.
Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.
Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r >0 таке, що:
1. r - відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.
2. інші власні значення по модулю < r .
3. власний вектор, що відповідає r , можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Нехай 
.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--