Реферат: Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

І тому

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r =l₁ .

Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню l₁ з рівності

Тоді

, або

Враховуючи, що

перепишемо систему у вигляді:

Але і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.

Знайдемо x ₁ з першого рівняння системи

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x ₁ >0.

Враховуючи, що b>0 треба довести, що ,

але це випливає з того, що , бо cb >0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

Визначення : Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду , де А₁ , А₂ - квадратні матриці розмірів k x k та (n -k ) x (n -k ) відповідно. Для 2х2 матриць це означає, що та

Визначення : Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.

Зауваження : Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.

Визначення : Квадратна матриця називається стохастичною, якщо

1)

2)

Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k ₀ таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді

1. (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)