Реферат: Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
3. Всі елементи цих рядків додатні.
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Запишемо стохастичну матрицю у вигляді , де
Запишемо її характеристичне рівняння: ,
Це квадратне рівняння з дискрімінантом:
І тому
З урахуванням маємо
, але якщо
, то це значить, що p =q =1 або p =q =0, відкіля матриця P буде мати вигляд
, або
і тоді P n містить нулі
, що суперечить умові. Таким чином
.
Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню відповідає власний вектор
, де x 1 =x 2 , тобто, наприклад
власний вектор. Знайдемо власний вектор
, що відповідає власному значенню
.
За визначенням
Звідки
Згадуючи, що отримуємо
Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y 1 з першого рівняння: або
звідки
, але
, бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд:
, а тоді матриця
мала б нульовий елемент
, що суперечить умові. Тому можна записати, що
Доведемо тепер твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn .
Позначимо .
Оскілки , то існує S- 1. Перепишемо рівняння
та
у матричній формі
або
.
Відкіля і взагалі
Знайдемо границю Pn :
Твердження 1 теореми доведено.
Доведемо тепер, що рядки матриці однакові. Для цього обчиcлимо
.
Оскільки , то
Ми бачимо, що рядки матриці
- однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність