Реферат: Цепные дроби
1. Теорема: При k =1, 2, …, n выполняется равенство
Доказательство: Проведем индукцию по k :
При k =1 равенство справедливо, так как 
.
Пусть это равенство верно при некотором k=n (
).
Докажем справедливость равенства при k=n +1.
, то есть равенство верно при k=n +1.
Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k (
).
2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая k –подходящая дробь несократима.
Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем .
Пусть 
, то есть 
, тогда из равенства 
следует, что
делится на
без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть 
.
3. Теорема: При
1) 
(
)
2) 
(
)
Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства , доказанного выше, путем деления обеих частей на 
. Получаем
, что и требовалось доказать.
Докажем второе соотношение.
.
Теорема доказана полностью.
4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=
.
Доказательство: 
, 
, так что
и
положительны.
Соотношение 
(
) (*) показывает, что и все следующие знаменатели
, 
, …, 
положительны. При , поскольку тогда 
, из (*) получаем
, что и требовалось доказать.
5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:
;
.
Две подходящие дроби
и 
, у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними .
6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.
Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:
.
Если k –четное, то 
Если k –нечетное, то 
