Реферат: Упругие волны

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.

§ 4. Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

???????? ??????????? ?? ??????????? ????

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменивk ² /ω² через 1/υ² (см. (2.7)), получим уравнение

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

υ

где Δ – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида

f(x, y, z, t)=f( wt − kx x –ky y – kz z +a)

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ς, имеем

Аналогично

Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при, дает фазовую скоростьэтой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х , волновое уравнение имеет вид

υ

§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде

Пусть в направлении оси х распространяется продольная плос­кая волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δx (рис. 5.1). Смещения ξ частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ξ в функции от x ). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещениеξ, то смещение основания с координатой x+ Δx будет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина,соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилинд­ра. Вследствие того, что ξменяется с изменением х не по линейному зако­ну, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако­вой. Чтобы получить деформацию ε в сечении х , нужно устремить Δx к нулю. Таким образом,

(символ частной производной взят потому, что зависит не толькоот x , но и отt ).

Наличие деформации растяжения свидетельствует о существо­вании нормального напряжения σ, при малых деформациях про­порционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома

(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформа­ция , аследовательно, и напряжение σ в фиксированный мо­мент времени зависят от х (рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответ­ствии с этим, как ужеотмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис.5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Δx очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра рав­на ρSΔx , где ρ – плотность недеформированной среды. Проек­ция на осьx силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напря­жений в сечениях (x+ Δx +ξ+Δξ) и (x+ ξ):

Значение производной в сечении x+ δможно для малых δ представить с большой точностью в виде

где под подразумевается значение второй частной произ­водной ξ по х в сечении х .

Ввиду малосги величинΔx, ξ и Δξпроизведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):

< Δx

<

(????????????? ????????? ??? ??????? ??????????? ?????? ????? ?????? ???????. ??????? Δξ , ??? ??? ????????? Δξ? ?????Δx +Δξ, ????? ??????????).

Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим

Наконец, сократив на S Δx , придем к уравнению

которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда ξ не зависит от у иz . Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что

υ =

Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению

υ =