Определим особые точки системы (рис. 6).

Рис. 6

Используем для анализа устойчивости 1-ый метод Ляпунова (метод линеаризации или метод оценки устойчивости по первому приближению).

Выполним линеаризацию:

Перейдем к изображениям:

.

Корни характеристического уравнения линеаризованной системы расположены на мнимой оси, т.е. для определения достаточного условия устойчивости применим 2-ой метод Ляпунова.

Необходимо найти функцию Ляпунова (т.е. знакоопределенную функцию Н (x, y) > 0). Пусть .

Найдем производную:

Это знакоопределенная функция отрицательного знака, следовательно, состояние равновесия асимптотически устойчиво.

Пример 2. Дана система (рис. 7). Проанализировать устойчивость особых точек.

Рис. 7

Решение

Запишем исходные уравнения нелинейной системы:

Определим особые точки и проанализируем их устойчивость:

Используем 1-й метод Ляпунова (линеаризации) или метод устойчивости по первому приближению. Можно линеаризовать либо уравнение, либо систему уравнений.

1). Линеаризуем уравнение

2). Линеаризуем систему

Поскольку один из корней находится на границе устойчивости, то для того, чтобы определить достаточное условие устойчивости необходимо использовать 2-й метод Ляпунова. Необходимо найти знакоопределенную функцию H (x, y) > 0. Выбираем функцию Ляпунова в виде "квадратичная форма плюс интеграл" и находим ее производную.

Состояние равновесия устойчиво по Ляпунову, так как < 0 при всех значениях y и не зависит от х, т.е. х = 0, так как производная функции Ляпунова не включает координату х, то она знакопостоянная.

Пример 3. Для заданной системы (рис. 8) определить особые точки и проанализировать их устойчивость.

Рис. 8

Решение