Устойчивость движения в предельных циклах

Предельные циклы характеризуют режимы автоколебаний. Для анализа устойчивости автоколебаний вводится понятие орбитальной устойчивости.

Пусть имеем предельный цикл, вблизи которого выбираем окрестность -e, представляющую криволинейный цилиндр (рис. 12).

Если может быть выбрана такая окрестность -e, чтобы движение, начавшись в пределах окрестности, сколь угодно близко приближалось к предельному циклу, то такое движение называется орбитально-асимптотически устойчивым.

Рис. 12

Если внутри окрестности предельного цикла может быть найдена такая область, чтобы движение, начавшись вблизи окрестности, заканчивалось в пределах области, то такое движение называется орбитально-устойчивым по Ляпунову.

Для определения автоколебаний их устойчивости и параметров существует ряд методов: метод точечных преобразований, метод гармонической линеаризации и др.

5. Метод точечных преобразований

Метод точечных преобразований позволяет определить наличие предельных циклов и их устойчивость.

Идея метода . Пусть задана фазовая траектория, выбираем линию, которая пересекает фазовую траекторию (рис. 13). Обычно это отрезок оси – 0х. Пусть начальное положение, изображающие точки на оси 0х – .

Рис. 13 Рис. 14

За один оборот начальная точка траектории М () переходит в конечную точку М (), которая является начальной для следующего оборота M(). Таким образом, можно построить зависимость конечных значений изображающей точки от начальных, т.е. так называемую кривую точечного преобразования (рис. 14). Эта кривая позволяет определить наличие предельных циклов и их устойчивость. Точка пересечения кривой точечного преобразования с линией под углом 45° характеризует наличие предельного цикла. При этом = (рис. 15а).

Возьмем точку справа от цикла: , т.е. колебания будут затухать (рис. 15б). Возьмем точку слева от цикла: , т.е. колебания будут увеличиваться по амплитуде (рис. 15в).

a) б) в)

Рис. 15

Таким образом, рассматриваемый цикл будет устойчивым. Устойчивость можно определить по направлению стрелок точечного преобразования.

Пример 6. Пусть задана кривая точечных преобразований (рис. 16). При этом фазовый портрет представлен на рис. 17.

Рис. 16 Рис. 17

Литература

1. Грумондз В.Т. Динамика нелинейных систем: Некоторые задачи устойчивости и колебаний – 2-е изд. Вуз. книга, 2009. – 182c.

2. Мирошник И.В. Теория автоматического управления: Нелинейные и оптимальные системы. Издательство: ПИТЕР, 2006. – 272c.

3. Пащенко Ф.Ф. Введение в состоятельные методы моделирования систем. В 2-х ч. Ч. 2. Идентификация нелинейных систем Изд-во: ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА, 2007. – 288c.

4. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В.А. Бесекерского. – M.: Наука, 1978.