Реферат: Устойчивость движения в нелинейных системах

Определим устойчивость по второму методу Ляпунова. Выбираем функцию Ляпунова в виде

Найдем производную:

Так как º0 во всем фазовом пространстве, то состояние равновесия устойчиво по Ляпунову. Фазовый портрет представляет семейство эллипсов. Особая точка типа "центр".

Пример. Для заданной системы (рис. 9) определить особые точки и проанализировать их устойчивость

Запишем исходные уравнения:

x

Определим устойчивость по 2-му методу Ляпунова. Выбираем функцию Ляпунова в виде "квадратичная функция плюс интеграл":

Эта система называется абсолютно устойчивой, т.е. она устойчива для любого типа нелинейного элемента, лишь бы его характеристика находилась в секторе z = 0; z = kx.

Пример 5. Для заданной системы (рис. 10) найти особые точки и определить их устойчивость, если f(x) = x+3x² .

Решение

Запишем выражение для выходной величины

Запишем дифференциальное уравнение системы

Подставим в дифференциальное уравнение

Линеаризуем полученное нелинейное уравнение. Найдем уравнение установившегося режима

Получили два состояния равновесия, проанализируем их устойчивость.

При x₀ = 0;

Характеристическое уравнение s³ +s² +2s+1 = 0 по Гурвицу не содержит корней в правой полуплоскости (2×1>1), следовательно, состояние равновесия устойчиво.

При x₀ = -1/3;