Але за своїм змістом ліва частина цієї рівності є варіацією функції , тобто це є. Отже, з (7) знаходимо

, (8)

що означає: операція диференціювання по незалежній змінній t і операція варіювання є комутативними.

1.4. Функція Лагранжа та її інтеграл у дійсному і уявному рухах.

Нехай при дійсному русі функція Лагранжа системи є L ( q , ˙ q , t), а в уявному вона дорівнює [6] , де

Розкладаючи в ряд Тейлора, знайдемо

(9)

Головна, лінійна відносно e, частина приросту функції L називається першою варіацією цієї функції, вона позначається δ L і дорівнює

Інші доданки ряду (9), які згруповано за степенями ε, нази­ваються, відповідно, другою, третьою і т. д. варіаціями функції L і позначаються так:

δ² L , δ³ L, ..., δ ^k L,...

Функцію Лагранжа (9) для уявного руху можна подати тепер як ряд

(10)

Ми дістали формулу, яка визначає функцію Лагранжа для уявного руху через функцію Лагранжа й її варіації в дійсному русі точки.

Щоб встановити аналогічну формулу для інтеграла від функ­ції Лагранжа, помножимо ряд (10) на елементарний проміжок часу dt і проінтегруємо від моменту t_o до моменту t ₁ . Матимемо:

(11)

Інтеграл

, (12)

аргументом якого є функція q( t) , слід розглядати як фунаціонал [7] .

У співвідношенні (11) інтеграл лівої частини рівності є функціонал, обчислений для довільного уявного руху. Перший інтеграл правої частини –той самий функціонал, обчис­лений для дійсного руху точки. Другий інтеграл правої частини у формулі (11) є головною, лінійною відносно δ q (відносно ε) частиною приросту цього функціоналу.

Головна, лінійна, частина приросту функціоналу називається першою його варіацією і позначається δ S або .

На підставі (11) і означення першої варіації функціоналу маємо:

, (13)

тобто операції інтегрування і варіювання комутативні (слід підкреслити, що доведена властивість справджується тільки за умови, що розглядаються уявні рухи у визначеному вище розумінні Остроградського, коли параметр t відіграє роль неза­лежної змінної).

Інші інтеграли правої частини формули (11) є послідовно так звані друга, третя і т. д. варіації функціоналу S, які позна­чаються так: δ² S,
δ³ S, ... . Тому ряд (11) можна переписати у вигляді

(14)

або у вигляді приросту функціоналу

(15)

Розділ ІІ. Варіаційні принципи механіки

1.1 Принцип Остроградського-Гамільтона

Інтеграл із змінною верхньою границею

(16)

називається дією за Остроградським. Розмірність дії є Дж ×с, тобто вона така сама, як розмірність сталої Планка h, що характеризує елементарний «квант дії».

Принцип Остроградського — Гамільтона формулюється так:

Дійсний рух механічної системи з голономними в'язями відрізняється від усіх інших порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Остроградського) рухів тим, що для дійсного руху системи варіація дії за Остроградським, яку обчислено для довільного фіксованого проміжку часу, дорівнює нулю.

Принцип Остроградського — Гамільтона математично подається рівністю

(17)

Для доведення обчислимо варіацію дії:

(18)

Інтегруючи частинами, знайдемо:

(19)

Доданок — тут дорівнює нулю в початковий і кінцевий моменти часу, бо , а (кінцеві точки траєкторій не варіюються).

Підставляючи (19) в (18), дістанемо:

(20)

За рівнянням Лагранжа підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю; тому δS = 0 . Справедливість принципу доведена.

Якщо для функціонала S виконана умова δS = 0 , то гово­рять, що значення S стаціонарне. Умова стаціонарності дії δS = 0 вичерпно виражає закон руху механічної системи. Справді, вище показано, що з рівнянь руху Лагранжа випливає рівність δS = 0 . Але і, навпаки, з умови δS = 0 випливають рівняння Лагранжа. Так, з довільності δq слідує, що для всіх t підінтегральна функ­ція в (20) дорівнює нулю, тобто випливають рівняння Лагранжа.

Принцип стаціонарної дії Остроградського — Гамільтона інколи називають принципом найменшої (екстремальної) дії. З'ясуємо походження цього терміну.

2.2. Принцип екстремальної (найменшої) дії