Реферат: Варіаційні принципи механіки

де штрих означає похідну по незалежній змінній s. У формулі (26) δx ́ , δt ́ можна обчислити за правилом тому що – похідні по незалежній змінній s. Тому

(27)

З формул (26) і (27) знаходимо

або, коли зробити заміну та виключити незалежну змінну s, яка вже відіграла свою допоміжну роль, дістанемо:

або

(28)

Ця формула і є узагальненням рівності (8) на випадок, коли варіюються обидві функції х і t . Аналогічно, вводячи незалежну змінну s , обчислимо варі­ацію інтеграла:

У правій частині підінтегральний вираз можна розглядати як складну функ­цію незалежної змінної s; межі інтегрування по змінній s вважаються фіксо­ваними. За таких умов операції d і f комутативні [див. (13)]:

(29)

Обчисливши варіацію добутку двох функцій і підставивши це значення в (29), отримаємо:

(30)

Ця формула є узагальненням рівності (13) на випадок, коли змінна інте­грування варіюється.

Після встановлення двох нових формул (28) і (30) для варіацій продовжимо доведення принципу Ейлера — Лагранжа. На підставі (28) рівність (25) перепишемо так:

.

Використовуючи цю і дві аналогічні рівності, знайдемо з (24):

(31)

Третій і четвертий доданки можна переписати, використову­ючи формули для кінетичної енергії системи та її варіації, а саме:

Відповідна заміна (в (31)) дає:

(32)

На підставі закону збереження енергії Т + V = Н знаходимо, що δ V =δ T . Ліву частину (32) перетворимо і тоді (32) буде:

(33)

Виключимо далі з лівої частини цієї рівності час на підставі закону збереження енергії:

звідки

(34)

Підставимо (34) в (33) і напишемо індекси, які раніше опускали; в результаті дістанемо:

(35)

Проінтегруємо цю рівність у дійсному русі системи від почат­кового її положення (А) до кінцевого (В). Інтеграл від правої частини дорівнює нулю, бо кінцеві положення системи в уявному русі такі самі, як і в дійсному (координати кінцевих положень не варіюються). Отже, з (35) знаходимо:

або, оскільки межі інтегрування фіксовані:

(36)

Ця рівність визначає принцип Ейлера—Лагранжа у формі, яку вказав Якобі.

Інтеграл із змінною верхньою границею М

) (37)

називається дією системи за Якобі.

Принцип Ейлера—Лагранжа формулюється так:

Дійсний рух механічної системи з стаціонарними голономними зв'язками в потенціальному силовому полі відрізняється від усіх інших, порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Ейлера-Лагранжа) рухів тим, що для довільних двох фіксованих положень системи перша варіація дії за Якобі для дійсного руху дорівнює нулю.

У випадку однієї матеріальної точки, яка рухається при стаціонарних зв'язках у стаціонарному силовому полі, дія за Лагранжем у формі Якобі матиме вигляд:

)

або

(38)

Зупинимось коротко на тлумаченні змісту принципу Ейлера-Лагранжа. У формі (36) ніяких труднощів у розумінні змісту принципу не виникає, тому що відповідний інтеграл у (36) має простий геометричний зміст (інтегрування ведеться по дугах траекторій точок системи між фіксованими її положеннями). Зміст цього принципу розкривається цілком аналогічно тому, як це зроблено раніше для принципу Остроградського—Гамільтона:

дія за Якобі (37), обчислена між двома фіксованими поло­женнями системи, в дійсному русі найменша. Ми можемо тут говорити про мінімальне значення дії (37) для дійсного руху між двома фіксованими положеннями системи, бо й тут можна довести, що друга варіація дії додатна, якщо тільки кінцеве положення системи В не дуже далеке від її початкового поло­ження А.

2.4. Принцип віртуальних переміщень

2.4.1. Віртуальні, можливі та дійсні переміщення.

Кожен варіаційний принцип механіки вказує ознаку, що відрізняє дійсний рух системи від інших рухів, що допускаються зв'язками, накладеними на точки системи, – рухів порівняння.

Щоб встановити цю ознаку відповідно до принципу Д'аламбера-Лагранжа, введемо поняття віртуальних переміщень.