Реферат: Знаходження похідної функції
Виконання вправ.
1. Задайте формулою елементарні функції і
, із яких побудована складна функція
:
а) б)
в) г)
Відповіді: а)
б)
;
в)
г)
.
2. Дано функції: . Побудуйте функції:
а) ; в)
; в)
;
г) ; в)
; є)
.
Відповідь: а) ; б)
;
в) ; г)
;
д) є)
У складній функції присутня проміжна змінна
. Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:
– похідна функції у по аргументі х;
– похідна функції у по аргументі u;
– похідна функції u по аргументі х;
Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою
, де
, або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.
Доведення
Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0 , а функція
має похідну в точці u0 =
, тобто існують границі
,
і
.
Нехай, аргументу х0 надано приросту , тоді змінна u набуде приросту
. Поскільки
одержала приріст
, то функція у одержить також приріст
. Приріст
зумовив виникнення приросту
і
.
Подамо . Перейдемо до границі при
(при цьому
).
або
.
Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х3 -1)5 .