Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 103у₁ + 148у₂ + 158у₃ рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у₁ , у₂ , у₃ , чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок у (у₁ , y₂ , y₃ ) минимизирующий общую оценку всех ресурсов f = 103у₁ + 148у₂ + 158у₃ (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

2у₁ + 4у₂ + 2у₃ ³ 36

3у₁ + 2у₂ + 8у₃ ³32 (2)

4у₁ + 7у₃ ³10

у₁ + 2у₂ ³13

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными y₁ 0, y₂ 0, y₃ 0. (3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений (х₁ , х₂ , х₃ , х₄ ) и (y₁ , y₂ , y₃ ) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

x ₁ (2у₁ + 4у₂ + 2у₃ - 36) = 0 y₁ (2x₁ +3x₂ + 4x₃ + x₄ - 103) = 0

x ₂ (3у₁ + 2у₂ + 8у₃ - 32) = 0 y₂ (4x₁ +2x₂ + 2x₄ - 148) = 0

x ₃ (4у₁ + 7у₃ - 10) = 0 y₃ (2x₁ +8x₂ + 7x₃ - 158) = 0 .

x ₄ (у₁ + 2у₂ - 13) = 0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х₁ >0, x₂ >0. Поэтому

2y₁ + 4y₂ + 2y₃ - 36 = 0

3y₁ + 2y₂ + 8y₃ - 32 = 0

Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у₁ =0,

то приходим к системе уравнений

4y₂ + 2y₃ - 36 = 0

2y₂ + 8y₃ - 32 = 0

откуда следует у₂ =8, у₃ =2.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у₁ =0; у₂ =8; у₃ =2, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1500.

Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у₃ =2 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 2 единицы.

ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют ² узкие места производства ² . Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t₁ ,t₂ ,t₃ )- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H + Q^-1 T 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (0, t₂ , t₃ ), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 8t₂ + 2t₃ (1) при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)

(2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида (3)

причем по смыслу задачи t₂ 0, t₃ 0. (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде: