Статья: Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

, (8)

где .

Обращая (8) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно , получаем [2]:

. (9)

Или с учетом перестановки Дирихле порядка интегрирования во втором интеграле правой части (9), получаем:

. (10)

Рассмотрим

.

Произведя замену переменных в последнем равенстве, получим

. На основании равенства [3]

будем иметь

. (11)

Подставляя (11) в (10), окончательно получаем функциональное соотношение между и , привнесенное из гиперболической части области Ω на линию y = 0:

. (12)

При m = 0 оно принимает вид:

. (13)

Устремляя из Ω1, получаем функциональное соотношение между и , привносимое на линию y = 0 в виде:

. (14)

В начале рассмотрим случай, когда m = 0. Исключая из уравнения (13) и (14) и, учитывая краевые условия (2), приходим к задаче

, (15)

. (16)

Решение (15), (16) представим в виде:

, (17)

где обозначено

.