Статья: Моделирование голограммы, получаемой с помощью подповерхностного сканирующего радиолокатора

где , – прямое и обратное преобразование Фурье соответственно.

В выражении (35) обратное преобразование Фурье отношения может и не существовать в силу того, что может иметь нули, а может иметь высокочастотные гармоники, обусловленные, например, шумом.

Уравнение (34) должно быть регуляризовано введением в оператор обращения дополнительного множителя, позволяющего построить приближенное решение.

Методика решения уравнения свертки (34) введением регуляризирующего множителя, согласованного с погрешностями задания левой части хорошо известна [11]. Поэтому далее с целью упрощения задачи будем считать, что распределение комплексной амплитуды поля, создаваемое источниками, находящимися в нижнем полупространстве, известно. Последнее утверждение эквивалентно использованию точечной антенны вместо апертурной (рис. 1).

Рассмотрим алгоритм получения изображения точечного источника, находящегося на некоторой глубине в однородной среде, характеризуемой комплексным волновым вектором k , как изображено на рис. 4. Положение точечного рассеивателя в нижнем пространстве задается вектором , текущее положение точечного приемопередатчика задается вектором . Комплексная амплитуда поля, регистрируемая приемной антенной на поверхности раздела, задаваемой , представим в виде

, (36)

где комплексный коэффициент характеризует отражательные свойства точечного источника, – комплексная амплитуда возбуждения передатчика. Дополнительный множитель 2 в показателе экспоненте и квадрат разности векторов в знаменателе возникают в предположении того, что точечный источник отражает волну, приходящую от точечного облучателя.

Рис. 4. Расположение точечных приемопередатчика и отражателя.

В результате перемещения антенны по плоскости раздела может быть получено двумерное распределение комплексной амплитуды .

Приведенный пример записи распределения комплексной амплитуды допускает аналогию с записью оптической голограммы с тем лишь отличием, что при записи голограммы в оптике источник, освещающий предмет, как правило, является неподвижным. В данном случае, при записи распределения комплексной амплитуды передатчик перемещается вместе с антенной, что приводит к появлению коэффициента 2 в выражении (36).

Если бы мы имели дело со случаем, когда точечный источник, находящийся в нижнем полупространстве, излучал бы самостоятельно, то двумерное распределение комплексной амплитуды задавалось бы соотношением

, (37)

в котором комплексный коэффициент задает фазу и амплитуду возбуждения. В таком случае восстановление изображения заключалось бы в том, что нужно было бы взять распределение , комплексно сопряженное (37), и рассчитать комплексную амплитуду поля, которая создается распределением в нижнем полупространстве. Очевидно, что это распределение фокусируется как раз в месте расположения точечного источника.

Распределение, задаваемое (36), тоже может быть «сфокусировано» в действительном месте расположения точечного источника. Для этого заметим, что распределение, задаваемое (36) будет иметь фокус в месте расположения источника, если данное распределение создается волной, характеризуемой волновым вектором . В оптике это соответствовало бы восстановлению голограммы опорной волной с вдвое меньшей длиной волны.

Для того чтобы найти распределение комплексной амплитуды в нижнем полупространстве на глубине , воспользуемся спектральным методом. Спектр плоских волн распределения комплексной амплитуды представляется в виде

.(38)

Спектр плоских волн (38), пройдя слой пространства толщиной в противоположном направлении оси преобразуется по известному соотношению

,(39)

где использование вдвое большего волнового числа объяснялось выше.

Распределение комплексной амплитуды, соответствующее спектру, получается с помощью обратного преобразования Фурье

.(40)

Рассмотрим пример построения распределений модуля комплексной амплитуды для точечного приемопередатчика и точечного источника, расположенного на некоторой глубине. Будем использовать соотношения (36), (38) – (40), а также быстрый алгоритм преобразования Фурье для вычисления интегралов (38) и (40).

На рис. 5 изображен пример восстановления изображения заглубленного объекта в виде прямоугольной рамки со стороной размером 3 см с использованием приведенных выше соотношений. Рамка располагалась на глубине 6 см от поверхности раздела. Комплексная диэлектрическая проницаемость полупространства, в котором находится объект, задавалась равной 12 + i . Длина волны в свободном пространстве принималась равной 5 см. Видно, что в действительном месте расположения объекта (рисунок с заглавием focusing at – 6 cm ) имеет место фокусировка изображения, что приводит к возможности определить форму и размеры заглубленного предмета.

При получении изображений на рис. 5 использовалась фильтрация в спектральной области, суть которой заключается в подавлении интенсивной прошедшей волны при восстановлении голограммы. Фильтрация не приводит к дополнительным вычислениям и заключается в обнулении соответствующего коэффициента при вычислении спектра в выражении (39) с помощью БПФ.

Следует отметить, что на результат восстановления изображения не влияет неизвестное изменение фазы при отражении волны от заглубленного предмета, что является преимуществом данного метода по сравнению с восстановлением изображения корреляционными методами, о которых говорилось во введении.

Изображения, приведенные на рис. 5, были получены по известному распределению комплексной амплитуды отраженного поля на поверхности раздела, что соответствует использованию обоих квадратурных компонент принятого сигнала. В случае амплитудного детектора, на восстанавливаемое действительное изображение заглубленного объекта накладывается расфокусированное мнимое изображение.

Рис. 5. Пример восстановления изображения заглубленного предмета методом восстановления волнового фронта.

Для неплоских заглубленных предметов, применение данного алгоритма позволит получать картину о распределении комплексной амплитуды поля в непосредственной близости от заглубленного предмета, что будет давать более близкое представление о нем, чем необработанные данные, регистрируемые у поверхности раздела.

В статье предложена модель сигнала, принимаемого подповерхностным радиолокатором с апертурной антенной при отражении от точечного рассеивателя, укрытого в однородной поглощающей среде. Построена модель опорного сигнала, возникающего при отражении от поверхности раздела. Предложена алгоритм обработки сигнала, позволяющий восстанавливать изображение заглубленных предметов по регистрируемым на поверхности раздела голограммам. Использование квадратурного детектора позволило бы при восстановлении получать только действительное изображение без влияния мнимого, либо наоборот. При этом возможно определение глубины залегания предмета с использованием немодулированного зондирующего сигнала.