Статья: Рамануджан и число 960
многоугольника
Pi = n sin(180°/n)
где n – число сторон
n = 6
Pc = 3,464...
Pi = 3,000...
n = 12
Pc = 3,215...
Pi = 3,105...
n = 24
Pc = 3,159...
Pi = 3,132...
Метод Архимеда приближения к π состоял в том, что в окружность диаметра 1 вписывались и около неё описывались правильные многоугольники. Периметры вписанных многоугольников служат соответственно нижними и верхними границами для значения π. Для нахождения периметров можно, как здесь показано, воспользоваться синусами и тангенсами, однако Архимеду пришлось изобретать эквивалентные соотношения на основе геометрических построений. С помощью 96-угольника он установил, что π больше, чем 310 /71, и меньше, чем 31 /7.
Р азвитие анализа в основном трудами Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница позволило намного ускорить вычисление приближённых значений π. В анализе существуют эффективные методы нахождения для функции её производной и интеграла. С помощью этих методов можно показать, что обратные тригонометрические функции представляются в виде интегралов от квадратичных функций, связанных с окружностью.
Связь между тригонометрическими функциями и алгебраическими выражениями станет понятней, если рассмотреть окружность единичного радиуса с центром в начале координат на декартовой плоскости х-у. Уравнение этой окружности (её площадь численно совпадает с π) имеет вид х2 + y2 = 1; оно получается по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 1. Синус и косинус угла между положительной полуосью х и радиусом, проведённым в любую точку окружности, равны соответственно координатам y и x этой точки, а его тангенс равен y/x.
Однако для вычисления π гораздо важнее тот факт, что обратную тригонометрическую функцию можно разложить в ряд, члены которого выражаются через её производные. Сам Ньютон нашёл 15 знаков π, суммируя несколько первых членов ряда для арксинуса. Позднее он писал одному из коллег: «Мне стыдно сказать вам, до скольких знаков я выполнил эти вычисления, не занимаясь больше ничем».
В 1674 г. Лейбниц вывел формулу 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ... = π/4 (арктангенс единицы). (Общий ряд для арктангенса был открыт в 1671 г. шотландским математиком Джеймсом Грегори, хотя аналогичные выражения, по-видимому, были получены в Индии на несколько столетий раньше.) Погрешность этого приближения, определяемая как разность между суммой n членов ряда и точным значением π/4, приблизительно равна (n+1)-му члену. Так как знаменатель каждого следующего слагаемого возрастает лишь на два, то, чтобы получить приближение с точностью до двух знаков, приходится суммировать около 50 членов, с точностью до трех знаков – около 500 и т. д. Таким образом, этот ряд практически непригоден для нахождения более чем нескольких первых знаков π.
Спасла положение формула Джона Мэчина: π/4 = 4 arctg(1/5) – arctg(1/239). Поскольку ряд для арктангенса при заданном значении переменной сходится тем быстрее, чем меньше это значение, благодаря этой формуле вычисления сильно упростились. Пользуясь своей формулой и рядом для арктангенса, Мэчин в 1706 г. вычислил 100 знаков π. Его метод оказался столь мощным, что с начала XVIII в. и до самого недавнего времени все вычисления π с большим числом знаков были выполнены с помощью тех или иных вариантов этого метода.
| ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВАЛЛИСА (1665)
|