Статья: Разбиение чисел
(здесь мы снова воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии). Из неравенств (4) следует, что rq ≥ ra ≥ 1, rq–1 ≥ 2, rq–2 ≥ 3, ... и вообще rk ≥ q–k+1. Поэтому m ≥ 0, т.е. (x, y) — вектор вида (3), что и требовалось доказать.
В геометрических терминах утверждение б) означает, что число N(x, y) зависит лишь от номера m параболы и не зависит от номера q точки на параболе.
Пусть T(m, q) — множество представлений вектора (3) в виде суммы различных образующих и t(m, q) — число таких представлений. Задача будет решена, если мы докажем, что для любого целого q имеет место равенство t(m, q) = t(m, q–1) (это и значит, что t(m, q), а вместе с ним N(x, y), не зависит от q). Мы отождествили выше множество T(m, q) с множеством таких пар последовательностей, удовлетворяющих неравенствам (4), что
| r1 + ... + ra + s1 + ... + sb = m + |
q(q + 1) 2 | при q = a–b. |
Такую пару мы будем записывать в виде (r1, ..., ra | s1, ..., sb).
Рассмотрим отображение φ множества T(m, q) в множество T(m, q–1), заданной формулой
| φ(r1, ..., ra | s1, ..., sb) = |
|
|
Упражнение 6. Проверьте, что φ(r1, ..., ra | s1, ..., sb) T(m, q–1).
Чтобы доказать, что φ — взаимно однозначное отображение, построим обратное отображение ψ: T(m, q–1) → T(m, q), прочитав правило, задающее φ, слева направо:
| ψ(r1, ..., ra | s1, ..., sb) = |
|
|
Построенные отображения взаимно обратны, поэтому φ — взаимно однозначное соответствие. Значит, t(m, q) = t(m, q–1), что и утверждалось.
Чтобы научиться вычислять значения N(x, y), установим связь между числами t(m, q) и p(m).
Утверждение: t(m, q) = p(m).
Рис. 4.
Мы уже знаем, что t(m, q) = t(m, 0), поэтому достаточно доказать, что t(m, 0) = p(m). Воспользуемся простым и полезным графическим средством, называемым диаграммой Юнга разбиения. Рассмотрим, например, разбиение (6, 4, 4, 2, 1). Его диаграмма Юнга изображена на рис. 4 (в первой строчке стоят 6 точек, во второй — 4, в третьей — 4, в четвёртой — 2, в пятой — 1). Всякое разбиение можно изобразить в виде диаграммы Юнга и по всякой диаграмме Юнга — записать разбиение.
Проведём на диаграмме Юнга диагональ — чёрная линия на рис. 4. Пусть r1 — число точек в первой строке, лежащих на диагонали и справа от неё, r2 — число точек второй строки, лежащих на диагонали и справа от неё, и т.д.; s1 — число точек первого столбца под диагональю, s2 — число точек второго столбца под диагональю и т.д. Поставим в соответствие диаграмме Юнга, изображающей разбиение числа m, пару последовательностей
(r1, r2, ... | s1, s2, ...),
r1 + r2 + ... + s1 + s2 + ... = m,
т.е. элемент множества T(m, 0). Например, диаграмме на рис. 4 соответствует пара (6, 3, 2 | 4, 2, 0). Зная пару последовательностей, можно легко восстановить диаграмму Юнга. Следовательно, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством разбиений и множеством T(m, 0). Утверждение доказано.
Теперь ничего не стоит ответить и на последний вопрос задачи — о значении N(13, 18). Поскольку 13 = 3+5·4/2, 18 = 3+6·5/2, точка (13, 18) лежит на третьей параболе. Значит, N(13, 18) = t(3, 0) = p(3) = 3.
Следующие упражнения — на применение диаграмм Юнга.
Упражнения
7. Число разбиений n не более чем с k частями, равно числу разбиений n с частями, не превосходящими k. Подсказка: отразите диаграмму Юнга относительно диагонали.
8. Число разбиений n с различными нечётными частями равно числу разбиений n, диаграмма Юнга которых симметрична относительно диагонали. Подсказка: вспомните соответствие Сильвестра.
Формула Гаусса–Якоби
Решая задачу М1065, мы проделали большую работу. Нельзя ли снова воспользоваться производящими функциями и извлечь из равенства t(m, q) = p(m) какое-нибудь красивое тождество?
N(x, y) — это число способов, которыми можно представить вектор (x, y) как сумму различных образующих вида (k, k–1) и (k–1, k). Рассуждая так же, как при выводе формулы производящей функции числа разбиений с различными частями, мы запишем производящую функцию для N(x, y) (это ряд от двух переменных u и v):
| ∞ | ∞ | ||
| ∏ | (1 + uk–1 vk)(1 + uk vk–1) = | ∑ | N(x, y)ux vy. |
| k=1 | x,y=0 |
Поскольку N(x, y) = t(m, q), где x = m + q(q+1)/2, y = m + q(q–1)/2, равенство можно продолжить:
| ∞ | ∞ | |||
| = | ∑ | ∑ | t(m, q)um vm | uq(q+1)/2 vq(q–1)/2. |
| q=–∞ | m=0 |
Воспользуемся теперь тем, что t(m, q) = p(m) и продолжим равенство:
| ∞ | ∞ | |||
| = | ∑ | ∑ | p(m)um vm | uq(q+1)/2 vq(q–1)/2. |
| q=–∞ | m=0 |