Статья: Разбиение чисел

Теперь приравняем левую часть первого и правую часть последнего равенства, умножив обе части на ∏ (1–uk vk). Получим окончательный результат:

∞	∞
∏	(1 + uk–1 vk)(1 + uk vk–1)(1 – uk vk) =	∑	uq(q+1)/2 vq(q–1)/2.
k=1	q=–∞

Это тождество — цель наших преобразований. Оно называется формулой Гаусса–Якоби. Из этого замечательного тождества с двумя переменными можно получить много разных тождеств с одной переменной.

Упражнение 9. Подставьте в формулу Гаусса–Якоби u = –t, v = –t2 и получите пентагональную теорему Эйлера.

Теперь подставим в формулу Гаусса–Якоби u = v = – t. В левой части получится:

∞	∞	∞
∏	(1 – t2k–1)2 (1 – t2k) =	∏	(1 – t2k–1)	∏	(1 – tk).
k=1	k=1	k=1

Заменяя произведение ∏ (1 – t2k–1) на ∏ (1 + tk)–1 по формуле (2), мы преобразуем левую часть в

(1 – t)(1 – t2)(1 – t3) ... (1 + t)(1 + t2)(1 + t3) ...

.

Правая часть формулы Гаусса–Якоби при подстановке u = v = – t превращается в

∞
∑	(–1)q² tq²,
q=–∞

и мы получаем следующую формулу:

(1 – t)(1 – t2)(1 – t3) ... (1 + t)(1 + t2)(1 + t3) ...

= 1 – 2t + 2t4 – 2t9 + 2t16 – ...

Подстановка u = t, v = 1 в формулу Гаусса–Якоби аналогичным образом приводит к формуле:

(1 – t2)(1 – t4)(1 – t6) ... (1 – t)(1 – t3)(1 – t5) ...

= 1 + t + t3 + t6 + t10 + ...

Эти две формулы получены Гауссом. Нечего и говорить, что это удивительно красивые формулы!

Тождества Роджерса–Рамануджана

В заключение я хочу познакомить вас с двумя знаменитыми тождествами теории разбиений, для которых до сих пор не найдено прозрачных доказательств, хотя эта задача и по сей день остаётся в сфере интересов многих математиков.

Первое тождество. Число разбиений натурального числа п, в которых разность между любыми двумя частями превосходит единицу, равно числу разбиений числа п на части, дающие при делении на 5 остаток 1 или 4.

Второе тождество. Число разбиений натурального числа п, в которых разность между любыми двумя частями и каждая часть превосходят единицу, равно числу разбиений числа п на части, дающие при делении на 5 остаток 2 или 3.

Конечно, закономерность, утверждаемая этими тождествами, в высшей степени красива и нетривиальна, и неудивительно, что крупнейший английский математик начала XX века Г. Харди, узнавший о них из письма Рамануджана, датированного 16 января 1913 года, пришёл в восхищение. *)

При чтении этой статьи у вас, может быть, сложилось впечатление, будто теория разбиений напоминает кунсткамеру, в которую заботливо собраны различные экзотические экспонаты, никак или почти никак между собой не связанные. До недавнего времени так оно и было. Ситуация коренным образом изменилась лишь в 70-х годах XX века, когда английскому математику Яну Макдональду удалось найти единый подход к доказательству большого класса тождеств теории разбиений и открыть много новых, объединив их в стройную теорию (тождество Гаусса–Якоби включается в неё). **) Для тождеств Роджерса–Рамануджана и многих аналогичных тождеств общего подхода не найдено, хотя в последнее время и появились алгебраические методы их доказательств. Так что, понимание истинной природы этих тождеств, вероятно, ещё впереди.