Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал заменяется на , после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.

I. Регулярная задача

Рассмотрим следующую краевую задачу:

, (1.1)

, (1.2)

. (1.3)

Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:

, (1.4)

с граничными условиями

, (1.5)

, (1.6)

где

. (1.7)

Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):

;

;

удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);

удовлетворяет так называемым условиям сопряжения

(1.8)

В каждом интервале решения уравнения (1.4) имеют вид:

. (1.9)

Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:

, (1.10)

где , выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:

(1.11)

Из первого краевого условия получаем зависимость от , затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):

, (1.12)

где выписывается явно.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--