Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

,

и пусть - собственные значения задачи (1)-(3) и соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:

. (1.13)

Заметим прежде, что при .

Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства

, (1.14)

. (1.15)

Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале . Представим ее в виде

, (1.16)

где вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:

,

.

Применяя метод последовательных приближений, получаем:

, (1.17)

где - решения уравнения (1.4).

Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).

Из (1.15) нетрудно установить неравенство:

, (1.18)

где при .

Тогда имеет место следующее равенство:

(1.19)

при , где - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.

Следствие 1.1 ,

.

Следствие 1.2 , где - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6), - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).

Следствие 1.3 и совпадают со всеми корнями уравнения .

Следствие 1.4 образуют полную систему собственных функций.

II. Сингулярная задача. Случай .