Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
, (2.1)
, (2.2)
где монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого
. В случае, когда
, спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что
; таким образом, для каждого
задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке
. Если бы мы знали все значения собственных функций
, соответствующие собственным числам
задачи на полуоси, в точке
, то, решая задачи на конечном промежутке
с дополнительным граничным условием
, мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на
достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия
(условие Дирихле) и
(условие Неймана). Пусть
- собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:
ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси
, (2.3)
где [1] .
Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.
ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:
. (2.4)
Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.
Замечание В случае полуограниченного оператора (), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.
Следствие 2.1 , где
- длина промежутка
.
Пример
.
Известно, что , где
вычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:
.
III. Сингулярная задача. Случай .
Будем рассматривать задачу
, (2.1)
. (2.2)
Имеет место следующая (см. [3])
ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция удовлетворяет следующим условиям
;
, при
;
сохраняет знак для больших
;
, где
, при
;
.
Тогда спектр оператора - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на
и
.
Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал
заменяется на
, где
- достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием
. Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при
) стремится к нулю при
. С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая