Математика / Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).

Замечание 2 Для расчета собственных чисел задачи (2.1)-(2.2), промежуток заменяется на , где - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями и .

IV. Сингулярная задача. Случай .

Будем рассматривать задачу

, (3.1)

(3.2)

с дополнительными условиями:

;

голоморфна в точке , причем ;

при монотонно, и , где ;

при , .

Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность с единственной предельной точкой , а собственные функции , отвечающие собственным значениям , имеют в интервале в точности нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.

Пример

Известно (см. [3]), что - собственные числа.

Введем обозначения: - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что

где вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение

n				Промежуток

1	0.2500	0.25000…	0.247…		(1.16,6.82)
2	0.1111	0.11107…	0.111…		(1.06,16.9)
3	0.0625	0.06249…	0.063…		(1.03,30.9)
4	0.0400	0.39995…	0.041…		(1.02,48.9)
5	0.0277	0.0277715	0.028…		(1.01,70.9)