Учебное пособие: Анализ временных рядов

Эта модель описывает процесс с постоянным темпом прироста, то есть

– логистической

У процесса, описываемого логистической кривой, темп прироста изучаемой характеристики линейно падает с увеличением y , то есть

– Гомперца

.

Эта модель описывает процесс, в котором темп прироста исследуемой характеристики пропорционален ее логарифму

.

Две последние модели задают кривые тренда S -образной формы, представляя процессы с нарастающим темпом роста в начальной стадии с постепенным замедлением в конце.

При подборе подходящей функциональной зависимости, иначе спецификации тренда, весьма полезным является графическое представление временного ряда.

Отметим также, что тренд, отражая действие долговременных факторов, является определяющим при построении долговременных прогнозов.

3.2 Модели сезонной компоненты

Сезонный эффект во временном ряде проявляется на «фоне» тренда и его выделение оказывается возможным после предварительной оценки тренда. (Здесь не рассматриваются методы спектрального анализа, позволяющего выделить вклад сезонной компоненты в спектр без вычисления других компонент ряда). Действительно, линейно растущий ряд помесячных данных будет иметь схожие эффекты в одноименных точках – наименьшее значение в январе и наибольшее в декабре; однако вряд ли здесь уместно говорить о сезонном эффекте: исключив линейный тренд, мы получим ряд, в котором сезонность полностью отсутствует. В то же время ряд, описывающий помесячные объемы продаж новогодних открыток, хотя и будет иметь такую же особенность (минимум продаж в январе и максимум в декабре) будет носить скорее всего колебательный характер относительно тренда, что позволяет специфицировать эти колебания как сезонный эффект.

В простейшем случае сезонный эффект может проявляться в виде строго периодической зависимости.

, для любого t , где t - период сезонности.

В общем случае значения, отстоящие на t могут быть связаны функциональной зависимостью, то есть

.

К примеру, сезонный эффект сам может содержать трендовую составляющую, отражающую изменение амплитуды колебаний .

Если сезонный эффект входит в ряд аддитивно, то модель сезонного эффекта можно записать как

,

где - булевы, иначе индикаторные, переменные, по одной на каждый такт внутри периода t сезонности. Так, для ряда месячных данных =0 для всех t , кроме января каждого года, для которого =1 и так далее. Коэффициент при показывает отклонение январских значений от тренда, - отклонение февральских значений и так далее до . Чтобы снять неоднозначность в значениях коэффициентов сезонности , вводят дополнительное ограничение, так называемое условие репараметризации, обычно

.

В том случае, когда сезонный эффект носит мультипликативный характер, то есть

модель ряда с использованием индикаторных переменных можно записать в виде

Коэффициенты , в этой модели принято называть сезонными индексами.

Для полностью мультипликативного ряда