Учебное пособие: Геометрические построения на плоскости

Исследование. 1.Окружность ω₁ можно построить и бесчисленным множеством способов.

2. Пересечением ОА и ω₁ всегда являются две точки А' и А".

3. Через точку А можно провести две прямые, параллельные соответственно В'А' или В'А''. Эти две прямые l₁ и l₂ различны, если А ОВ'; и совпадает, если АОВ'.

4. Пересечения l₁ ∩ ОВ и l₂ ∩ ОВ' существуют и единственны, если А ОВ' , т.е. задача в этом случае имеет два решения.

Если же А ОВ', то этим способом центр искомой окружности не найдем. Для этого принципиально нового случая найдем новое специфичное решение: строим прямую, перпендикулярную ОА-биссектрисе данного угла. Далее проведем биссектрисы углов ОСА и МСА. Точки в₁ и в₂ - искомые центры.

Задача (наглядная). Построить треугольник по двум углам , β

и медиане, проведенной из какой-нибудь вершины.

1. Строим треугольник АВ₁ С₁

2. Подобным преобразованием получим искомый ΔАBC

6. Метод инверсии

Сущность метода: наряду с данными и искомыми фигурами рассматривают фигуры, инверсные им или их частям. Он применяется в тех случаях, когда построение фигуры, инверсной искомой, является более легкой (доступной). Построив инверсную построенной, получают искомую. Метод инверсии дает возможность решить трудные конструктивные задачи. Недостаток - громоздкость (большое число построений).

Задача. Даны: точка О и прямые а и в, не проходящие через О. Построить луч, выходящий из О, чтобы произведение его отрезков от О до точек пересечения с данными прямыми было равно ² , где - длина отрезка .

Анализ. Пусть [ОА) - искомый луч. Тогда ОА*ОВ= ² . Инверсия I относительно окружности ω(o,r) точку B переведет в точку A, прямую в→в', где b' - некоторая окружноcть, тогда A = a∩в'.

Построение. Строим последовательно: 1) ω(o,r); 2) в', где в' = I (в) окружность, проходящая через О; 3) А, А а ∩ в; 4) [ОА) - искомый.

Доказательство. Через В обозначим пересечение в ∩ [ОА). Тогда В – прообраз А, т.к. А = [ОА) ∩ в'→[ОА) ∩ в = В. По определению инверсии имеем: ОА*ОВ = r² .

Исследование. Если: a ∩ в' = Ø, то нет решения; - точка касания, то одно решение; a ∩ в' = {A}, A – точка касания, то одно решение; a ∩ в' = {A₁ A₂ , A₁ ≠ A₂ , то два решения.

Алгебраический метод.

Сущность: решение задачи сводят к построению отрезка, длину которого можно выразить через длины данных отрезков с помощью формул. Затем строят искомый отрезок по полученной формуле.

Задача. Даны: угол АОВ и две точки С и D да луче OВ. Найти на луче [ОА) точку X, чтобы величина угла СХDбыла наибольшей.

Анализ. Пусть точка X найдена. Очевидно, точка X является точкой касания окружности, проходящей через С и D. Обозначим длину отрезка ОХ через х.

Имеем:

х² = |ОС|*|ОD|, |ОС| и |ОD | -

длины известных отрезков ОС и ОD) . План решения состоит из двух шагов: Строим так, чтобы

и х = [OA) ∩ω(O,x),

где – длина отрезка х.

Построение, доказательство, исследование предлагаем провести самим.