Учебное пособие: Линейные уравнения и их свойства
Равенство (2) называют разложением вектора 
по базису 
, а числа 
координатами вектора относительно этого базиса.
Пример 3. Показать, что векторы 
,
образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе.
Решение. Так как каждый вектор задан тремя координатами, то в рассматриваемом векторном пространстве существует базис 
и размерность пространства, равная трем, совпадает с числом заданных векторов 
. Поэтому векторы образуют в нем базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство
которое можно записать для соответствующих координат этих векторов
(3)
Решим полученную систему линейных уравнений (3) методом Гаусса.
~ 
~ 
~
~
~ 
~ 
~
~
~ 
.
Отсюда получаем единственное нулевое решение 
, т.е. векторы являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис пространства. Найдем теперь разложение вектора 
по базису из условия выполнения векторного равенства
,
которое для соответствующих координат запишется
Полученную квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных 
решим по формулам Крамера. Вычислим определители3-го порядка:
Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора в базисе :
В итоге имеем
Задача для контрольной работы
Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Численные данные в зависимости от варианта приводятся в таблице 3.
Таблица 3
|
№ варианта | Координаты векторов | |||||||||||
 |  |  | | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 2 | 4 | 6 | 3 | -3 | -2 | 3 | 3 | 7 | 5 |
| 2 | -1 | -2 | 1 | -3 | 2 | -1 | 2 | -5 | -3 | -6 | 14 | 4 |
| 3 | 2 | 3 | -2 | -1 | -1 | 1 | 4 | 0 | 1 | 15 | 5 | 0 |
| 4 | 2 | 6 | -10 | 5 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 4 | 12 | -20 |
| 5 | 2 | 3 | 1 | 3 | 7 | 2 | 5 | 4 | 2 | 10 | 3 | 3 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | -6 | -3 | -5 | 4 | 2 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| 7 | 2 | -1 | 3 | -1 | 3 | 2 | 1 | -2 | -1 | 4 | -3 | 3 |
| 8 | 1 | 2 | -1 | 2 | -1 | 3 | 3 | 4 | 1 | 10 | 8 | 4 |
| 9 | 4 | 1 | -6 | -3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 0 | 12 | -5 | -14 |
| 10 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 1 | 1 | 4 |
Тема 3. Случайные события
Задача 1. На складе имеется 12 единиц товара, полученных от поставщика №1, 20 единиц - от поставщика №2 и 18 единиц - от поставщика №3. Вся продукция находится в одинаковых упаковках. Вероятность того, что единица товара, полученная от поставщика №1 отличного качества, равна 0,9; от поставщика №2 - 0,6; от поставщика №3 - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу единица товара окажется отличного качества.
Решение. Обозначим через 
событие, состоящее в том, что взятая единица товара окажется отличного качества. Возможны следующие предположения: 
- взятая единица товара получена от поставщика №1, 
- от поставщика №2, 
- от поставщика №3.