Математика / Учебное пособие: Математический анализ. Практикум

Учебное пособие: Математический анализ. Практикум

Правило 10. Правило Лопиталя (см. 2.6).

1.3 Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

1. ;

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода

- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;

- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

Пример 16. Установить характер разрыва функции в точке или доказать непрерывность функции в этой точке.

а)

при функция не определена, следовательно, она не непрерывна в этой точке. Т.к. и, соответственно, , то – точка устранимого разрыва первого рода.

б)

по сравнению с заданием (а) функция доопределена в точке так, что , значит, данная функция непрерывна в данной точке.

в)

При функция не определена;

Т.к. один из односторонних пределов бесконечен, то – точка разрыва второго рода.

Глава 2. Дифференциальное исчисление

2.1 Определение производной

Определение производной

Производная или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

или .

Механический смысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

2.2 Основные правила дифференцирования

Наименование	Функция	Производная
Умножение на постоянный множитель
Алгебраическая сумма двух функций
Произведение двух функций
Частное двух функций
Сложная функция