Учебное пособие: Математический анализ. Практикум
Решение. Найдем сначала производную первого порядка 
.
От производной первого порядка возьмем еще раз производную 
.
Пример 19. Найти производную третьего порядка функции 
.
Решение.
.
2.4 Исследование функций
2.4.1 План полного исследования функции:
План полного исследования функции:
1. Элементарное исследование:
- найти область определения и область значений;
- выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;
- найти точки пересечения с осями координат;
- определить участки знакопостоянства.
2. Асимптоты:
- найти вертикальные асимптоты 
, если 
;
- найти наклонные асимптоты: 
.
Если 
любое число, то 
– горизонтальные асимптоты.
3. Исследование с помощью 
:
- найти критические точки, те. точки в которых 
или не существует;
- определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых 
и убывания функции – 
;
- определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.
4. Исследование с помощью 
:
- найти точки, в которых 
или не существует;
- найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых 
и вогнутости – 
;
- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак.
5. Построение графика функции.
Рекомендации по применению плана исследования функции:
1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.