Учебное пособие: Основные понятия и планирование эксперимента

Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y?

Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …, Хn называется поверхностью отклика (рис. 1).

Рис. 1. Поверхность отклика

Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х1, то нахождение функции отклика - достаточно простая задача. Задавшись несколькими значениями этого фактора, в результате опытов получаем соответствующие значения Y и график Y =F(X) (рис. 2).

Рис. 2. Построение функции отклика одной переменной по опытным данным

По его виду можно подобрать математическое выражение функции отклика. Если мы не уверены, что опыты хорошо воспроизводятся, то обычно опыты повторяют несколько раз и получают зависимость с учетом разброса опытных данных.

Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Полученную функцию отклика в 3х-мерном пространстве (рис. 1) можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями одного из факторов (рис. 3). Вычлененные графики сечений можно аппроксимировать совокупностью математических выражений.

Рис. 3. Сечения поверхности отклика при фиксированных откликах (а) и переменных (б,в).

При трех и более факторах задача становится практически неразрешимой. Если и будут найдены решения, то использовать совокупность выражений достаточно трудно, а часто и не реально.

Например, пусть необходимо исследовать влияние U, f и Rr на Мп и P2 асинхронного двигателя (АД) (рис. 4).

Рис. 4. Исследование влияния U, f и Rr на Мп и P2 АД

Если в диапазоне изменения каждого фактора взять хотя бы по пять точек

то для того чтобы выполнить опыты при всех возможных сочетаниях значений факторов (их три) необходимо выполнить 53=125 опытов и сформировать по 52=25 кривых для каждой из двух функций отклика. Если мы хотим хотя бы продублировать опыты чтобы снизить погрешность, то число опытов пропорционально возрастает, поэтому произвольное выполнение опытов при числе факторов более двух и использование их результатов - практически нереально.

Лекция 2. Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов

Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома

Y=В0 + B1Х1 + … + BnХn + В12Х1Х2 + … Вnn-1ХnХn-1 + В11Х12 + … + ВnnXn2 +….

Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени.

Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов.

Рис. 5. Пространство кодированных факторов

Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 5), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами Х1ср, Х2ср, …, Хnср

.

Текущее значение кодированного фактора

,