Учебное пособие: Основные понятия и планирование эксперимента

Структура матрицы С играет важную роль в реализации алгоритма определения коэффициентов аппроксимирующего полинома. Структура матрицы С зависит от выбора значений факторов в N опытах. Поэтому желательно особым образом выбирать значения факторов в опытах.

Элемент Сii на главной диагонали матрицы С (i-тая строка, i-тый столбец) представляется суммой квадратов значений i-того столбца сочетаний факторов матрицы Х в N опытах

Элементы матрицы симметрично расположенные относительно главной диагонали равны между собой, то есть матрица С - симметричная.

где первый индекс указывает номер столбца матрицы Х, второй индекс - номер строки.

При этом

Чтобы существовала матрица С-1, матрица С размера (1+m; 1+m) должна быть невырожденной, то есть ее определитель должен быть отличен от нуля. Это условие выполняется, если все m+1 столбцов матрицы Х линейно независимы. Кроме того, необходимо, чтобы число различных сочетаний факторов в матрице Х (число опытов N) должно быть не меньше чем m+1. Это условие исходит из того, что для определения m+1 коэффициента полинома необходимо не менее m+1 уравнений (опытов).

Полученные коэффициенты B позволяют сформировать уравнение функции отклика при m+1 членах уравнения. Если точность этого уравнения оказалась недостаточной, то требуется взять уравнение с большим числом членов и начать все заново так как все коэффициенты B оказываются зависимыми друг от друга. Это возникает при использовании пассивного эксперимента. Однако если целенаправленно использовать активный эксперимент и особым образом построить матрицу сочетаний факторов в опытах Х, использовать планирование эксперимента, то коэффициенты полинома определяются независимо друг от друга.

Стратегия применения планов заключается в принципе постепенного планирования – постепенного усложнения модели. Начинают с простейшей модели, находятся для нее коэффициенты, определяется ее точность. Если точность не удовлетворяет, то планирование и модель постепенно усложняются.

Задача планирования заключается в том как нужно строить матрицу Х, чтобы матрица С легко обращалась и коэффициенты B определялись независимо друг от друга. Эти требования выполняется если матрица С является диагональной, то есть все элементы расположенные не на главной диагонали матрицы равны нулю

;

или

.

Тогда обратная матрица определяется как

.

В этом случае система уравнений распадается на m+1 независимых уравнения и коэффициенты полинома определяются как

Если учесть, что Сii определяется как сумма квадратов значений факторов

,

то коэффициенты определяются как

Требование выполнения условия заключается в выполнении условия

,

где i, j - номера столбцов в матрице Х; ; ; при

Каждый столбец матрицы Х можно представить в виде вектора

если ,