Учебное пособие: Теоретическая механика. Статика

В матричном виде эта система уравнений записывается так:

Матричное решение имеет вид:

.

В среде Mathcad можно выполнить и проверку.

Пример СП-2. Равновесие тела в плоскости (Мещерский, 4.10)

Однородный стержень АВ веса 100 Н опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол, другим на гладкую плоскость, наклоненную под углом 300 к горизонту. У конца В стержень поддерживается веревкой, перекинутой через блок С и несущей груз Р; часть верёвки ВС параллельна наклонной плоскости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз Р и силы давления NA и NB на пол и наклонную плоскость.

Ответ: P = 25 H, N_A = 50 H, N_B = 43,3 H

Решение.

Рассмотрим равновесие стержня АВ и составим расчетную схему сил, действующих на нее (рис.2). На точку D, как активная сила, действует сила тяжести стержня АВ - .

Со стороны связей (пола и плоскости) на стержень действуют их реакции –,(соответственно), и натяжение части веревки ВС, причем по модулю натяжение равно весу груза P (T = P).

Для полученной в расчетной схеме плоской системы сил составляем три уравнения равновесия: 2 уравнения сил в проекциях на оси координат x и y и сумму моментов сил относительно точки B (рис. 2). ():

Из уравнения (3) находим .

Из уравнения (1) .

Подставляем в уравнение (2)

и находим

При заданных числовых значениях получаем N_A = 50 Н, N_B = 43,3 Н, Р = 25 Н.

Проверка. Для проверки составим уравнение равновесия в форме суммы моментов сил относительно точки D (рис. 1) и убедимся, что оно обращается в тождество:

Действительно, при подстановке найденных значений получаем

Ответ. Давления равны N_A = 50 Н, N_B = 43.3 Н, вес груза Р = 25 Н.

Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использовать, например, матричный метод. Уравнения равновесия (1), (2) и (3) запишем в стандартной форме, сохраняя неизвестные в левых частях уравнений: