0,7+0,77+0,777+...+0,777....7=

 Если вам нужна что то вроде рекуррентной суммы , то есть выразить любую сумму последовательности.  [latex]0.7+0.77+0.777+0.7777+0.77777...,+0.,77,.\\\\ 7(\frac{1}{10}+\frac{11}{100}+\frac{111}{1000}+..,\frac{11111,..}{10000,..})=\\\\ \frac{1}{10}+\frac{11}{100}+\frac{111}{1000}+\frac{1111}{10000}+...,.=\\\\ [/latex]  теперь обозначим каждый его член последовательно  [latex]b_{1}=\frac{1}{10}\\ b_{2}=\frac{11}{100}\\ b_{3}=\frac{111}{1000}\\ b_{4}=\frac{111}{10000}\\ ...\\[/latex] заметим что каждый член можно представить в виде  [latex]b_{1}=\frac{1}{10}\\ b_{2}=\frac{11}{100}=\frac{1}{10}+\frac{1}{100}\\ b_{3}=\frac{111}{1000}=\frac{1}{10}+\frac{11}{100}+\frac{1}{1000}\\ ...[/latex]  и так же заметим что крайние суммы есть геометрическая прогрессия . То есть найдем частичную сумму    , возьмем 4  член и про суммируем по формуле геометрической прогрессий [latex]S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q}\\\\ [/latex] [latex]S_{4}=\frac{1-\frac{1}{10^n}}{9}+\frac{1-\frac{1}{10^{n-1}}}{9}+\frac{1-\frac{1}{10^{n-2}}}{9}+\frac{1-\frac{1}{10^{n-3}}}{9}+\frac{3}{9}+\frac{1}{10}[/latex] теперь очевидно что любая сумма будет иметь  вид      [latex]Sn=\frac{1}{10}+\frac{n-1}{9}-\frac{\frac{\frac{1}{10}^2*(1-\frac{1}{10}^{n-1})}{\frac{9}{10}}}{9}=\\ \frac{1}{10}+\frac{n-1}{9}-\frac{10^{2-2n}*(10^n-10)}{81} [/latex]      теперь  осталось домножить на 7     [latex]\frac{7}{10}+\frac{7n-7}{9}-\frac{7*10^{2-2n}*(10^n-10)}{81}[/latex]