1) 3cos^2x-sinx-1=0 2)tg^2x-sinx+1=0 3)tg^2x-sinx+1=0 4)4sin^2x-cosx-1=0

[latex]3\cos^2x-\sin x-1=0\\ 3\cdot(1-\sin^2x)-\sin x-1=0\\ 3-3\sin^2x-\sin x-1=0\\ -3\sin^2x-\sin x+2=0|\cdot(-1)\\ 3\sin^2x+\sin x-2=0[/latex] Пусть [latex]\sin x=t[/latex], причем [latex]|t| \leq 1[/latex], тогда имеем [latex]3t^2+t-2=0\\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-2)=1+24=25\\ \\ t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \dfrac{-1+5}{2\cdot3} = \dfrac{2}{3} \\ \\ t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \dfrac{-1-5}{2\cdot3} =-1[/latex] Обратная замена [latex]\sin x= \frac{2}{3} \\ x_1=(-1)^k\cdot \arcsin\frac{2}{3} + \pi k,k \in \mathbb{Z}[/latex] [latex]\sin x=-1\\ x_2=- \frac{\pi}{2} +2 \pi k,k \in \mathbb{Z}[/latex] Номер 2) и 3) совпадают [latex]tg^2x-\sin x+1=0[/latex] ОДЗ: [latex]\cos^2x\ne0\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, x\ne \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in \mathbb{Z} [/latex] [latex] \frac{\sin^2x}{\cos^2x} +1-\sin x=0\\ \\ \frac{\sin^2x}{1-\sin^2x} +1-\sin x=0[/latex] Пусть [latex]\sin x=t(|t| \leq 1)[/latex], тогда имеем [latex] \frac{t^2}{1-t^2} +1-t=0|\cdot(1-t^2)\\ t^2+(1-t)(1-t^2)=0\\ t^2+1-t^2-t+t^3=0\\ t^3-t+1=0[/latex] Кубическое уравнение можно решить формулой Виета-Кардано [latex]x^3+ax^2+bx+c=0[/latex] - общий вид [latex]Q= \dfrac{a^2-3b}{9} = \dfrac{0^2-3\cdot(-1)}{9} = \dfrac{1}{3} [/latex] [latex]R= \dfrac{2a^3-9ab+27c}{54} = \dfrac{27c}{54} = \dfrac{c}{2} = \dfrac{1}{2} [/latex] [latex]S=Q^3-R^2=\bigg( \dfrac{1}{3} \bigg)^3-\bigg( \dfrac{1}{2} \bigg)^2=- \dfrac{23}{108} [/latex] Поскольку [latex]S\ \textless \ 0[/latex], то отсюда следует, что уравнение имеет один действительный корень также 2 комплексных. [latex]\phi=Arch(|R|/Q^{3/2})/3\approx0.536[/latex] Тогда действительный корень можем найти следующим образом x = -2sgn(R)√Q·ch(Ф)-a/3 = -1.325 ∉ [-1;1] Cледовательно уравнение решений не имеет. [latex]4\sin^2x-\cos x-1=0\\ 4\cdot(1-\cos^2x)-\cos x-1=0\\ 4\cdot (1-\cos x)(1+\cos x)-(\cos x +1)=0\\ (1+\cos x)(4-4\cos x-1)=0\\ (1+\cos x)(3-4\cos x)=0[/latex] Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю [latex]1+\cos x=0\\ \cos x=-1\\ x= \pi +2 \pi n,n \in \mathbb{Z}[/latex] [latex]3-4\cos x=0\\ \cos x= \frac{3}{4} \\ x=\pm \arccos \frac{3}{4} +2 \pi n,n \in \mathbb{Z}[/latex]