1 рисунок - какое максимальное значение может принимать выражение 2 рисунок - решить систему уравнений

В 1 задаче, кажется, опечатка - должно быть y вместо t. z = √(xy)/(x+y+2)^2 Максимум функции двух переменных будет при двух условиях: 1) Обе частные производные равны 0 [latex] \frac{dz}{dx} = \frac{ \frac{ \sqrt{y} }{2 \sqrt{x} } (x+y+2)^2- \sqrt{xy}*2(x+y+2) }{(x+y+2)^4} =\frac{ \frac{ \sqrt{y} }{2 \sqrt{x} } (x+y+2)- \sqrt{xy}*2 }{(x+y+2)^3}=[/latex] [latex]= \frac{ \sqrt{y}(x+y+2)-4x \sqrt{y}}{2 \sqrt{x} (x+y+2)^3}= \frac{ \sqrt{y}(y+2-3x) }{2 \sqrt{x} (x+y+2)^3}=0[/latex] [latex] \frac{dz}{dy} = \frac{ \frac{ \sqrt{x} }{2 \sqrt{y} }*(x+y+2)^2- \sqrt{xy}*2(x+y+2) }{(x+y+2)^4} =\frac{ \frac{ \sqrt{x} }{2 \sqrt{y} }*(x+y+2)- \sqrt{xy}*2 }{(x+y+2)^3}=[/latex] [latex]= \frac{ \sqrt{x} (x+y+2)-4y \sqrt{x} }{2 \sqrt{y}*(x+y+2)^3 } = \frac{ \sqrt{x} (x+2-3y)}{2 \sqrt{y}*(x+y+2)^3 } =0[/latex] Дроби равны 0, когда числитель равен 0 { √y*(y+2-3x) = 0 { √x*(x+2-3y) = 0 y1 = 0; подставляем во 2 уравнение: √x*(x+2)=0; x1=0; x2=-2 Решения: (0; 0); (-2; 0) - не подходит, x ≥ 0 x1 = 0; подставляем в 1 уравнение: √y*(y+2)=0; y1=0; y2=-2 Решения: (0; 0); (0; -2) - не подходит, y ≥ 0 Если x > 0 и y > 0, то { y + 2 - 3x = 0 { x + 2 - 3y = 0 Умножаем 2 уравнение на 3 { -3x + y + 2 = 0 { 3x - 9y + 6 = 0 Складываем уравнения -8y + 8 = 0 y = 1; 3x - 9 + 6 = 3x - 3 = 0; x = 1 Решение: (1; 1). [latex]z= \frac{1*1}{(1+1+2)^2} = \frac{1}{16} [/latex] 2 задача. Система [latex] \left \{ {{x+y=12} \atop {2(2log_{y^2}(x)-log_{1/x}(y))=5}} \right. [/latex] Область определения логарифмов: { x > 0; x =/= 1 { y > 0; y =/= 1 У логарифмов есть такое свойство: [latex]log_a(b)= \frac{log_c(b)}{log_c(a)} [/latex] Причем новое основание с может быть любым, например, 10 Перепишем 2 уравнение, воспользовавшись этим свойством. [latex]\frac{2lg(x)}{lg(y^2)}- \frac{lg(y)}{lg(1/x)} =5/2[/latex] Преобразуем 2 уравнение по свойствам логарифмов. [latex]\frac{2lg(x)}{2lg(y)}+ \frac{lg(y)}{lg(x)} =5/2[/latex] Замена [latex]t=\frac{lg(x)}{lg(y)}[/latex] t + 1/t = 5/2 Умножаем все на 2t 2t^2 - 5t + 2 = 0 (t - 2)(2t - 1) = 0 Получаем два решения: 1) [latex] \left \{ {{x+y=12} \atop { \frac{lg(x)}{lg(y)}=log_y(x) =2}} \right. [/latex] Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение [latex]log_y(12-y)=2[/latex] y^2 = 12 - y y^2 + y - 12 = 0 (y + 4)(y - 3) = 0 Решение: y1 = 3; x1 = 9 y = -4 < 0 - не подходит. 2) [latex]\left \{ {{x+y=12} \atop { \frac{lg(x)}{lg(y)}=log_y(x) =1/2}} \right. [/latex] Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение [latex]log_y(12-y)=1/2[/latex] [latex] \sqrt{y} =12-y[/latex] y = (12 - y)^2 = y^2 - 24y + 144 y^2 - 25y + 144 = 0 (y - 9)(y - 16) = 0 Решение: y2 = 9; x2 = 3 При y = 16 будет x = 12 - y < 0 - не подходит. Ответ: (3; 9); (9; 3)