100 БАЛЛОВ! СРОЧНО!Задание 11.3

Пусть точка A(x0;y0) находится с одной стороны от оси симметрии параболы, точка B(x1;y1) находится с другой стороны от оси симметрии. Так как треугольник AOB прямоугольный, угол AOB прямой. То есть векторы OA и OB перпендикулярны, а их скалярное произведение равно 0. Вектор OA=(x0;y0), вектор OB=(x1;y1). Скалярное произведение равно OA*OB = x0*x1+y0*y1=0 Так как y0=a(x0)^2, y1=a(x1)^2, то x0*x1+a(x0)^2*a(x1)^2=0 x0*x1*(1+a^2*x0*x1)=0. Очевидно, что x0≠0, x1≠0, иначе AOB не был бы треугольником. Значит, x0*x1=-1/a^2 => x1=-1/(x0*a^2). ___________________________________________ Сначала возьмем случай, когда x0=-x1. Тогда x0=-1/a, x1=1/a. Отсюда y0=a*(x0)^2=a*(-1/a)^2=1/a, y1=a*(x1)^2=a*(1/a)^2=1/a. Отсюда следует, что y0=y1 - прямая горизонтальная, все ее значения равны 1/a. Это значит, что если существует общая точка у всех прямых AB, то она обязательно имеет координату y, равную 1/a. _________________________________________________ Теперь возьмем два симметричных треугольника AOB и A'OB'. Треугольник A'OB' является отражением треугольника AOB относительно оси симметрии параболы, то есть прямой x=0. Очевидно, что по x они пересекаются в точке x=0. __________________________________________________ Отсюда следует, что если такая общая точка существует, то она обязана быть равной (0;1/a). Проверим это. Составим уравнение прямой AB. Пусть A(x0; a(x0)^2), тогда B имеет координату x1 = -1/(x0*a^2) (это доказывается выше) и координату y1 = a*(x1)^2 = a*(-1/(x0*a^2))^2 = 1/(a^3*(x0)^2) Составим уравнение прямой: (x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0) (x-x0)(y1-y0)=(y-y0)(x1-x0) x(y1-y0)+y(x0-x1)=x0*y1-x1*y0 Вместо x подставим 0, вместо y подставим 1/a, вместо y0 подставим a*(x0)^2, вместо x1 подставим -1/(x0*a^2), вместо y1 подставим 1/(a^3*(x0)^2) Если точка (0;1/a) принадлежит той прямой, то получится тождество. 0*(1/(a^3*(x0)^2)-a*(x0)^2) + 1/a*(x0-(-1/(x0*a^2))) =  x0 * (1/(a^3*(x0)^2)) - (-1/(x0*a^2)) * a*(x0)^2 Посчитаем левую часть. 0*(1/(a^3*(x0)^2)-a*(x0)^2) + 1/a*(x0-(-1/(x0*a^2))) = 1/a*(x0-(-1/(x0*a^2))) = x0/a + 1/(x0*a^3) Посчитаем правую часть x0 * (1/(a^3*(x0)^2)) - (-1/(x0*a^2)) * a*(x0)^2 = 1/(x0*a^3) + x0/a Левая и правая части равны, значит, получилось тождество, что и требовалось доказать. Значит, общая точка существует, единственна и равна (0;1/a).