1)Докажите, что уравнение x^2+bx+c=0 имеет 2 различных действительных корня, если 0.25+с меньше 0.5b   2)Найдите наименьшее значение выражения кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13)   3)Пусть x1 и x2 - корни уравнения x(2x-...

1) 0,25 + c <0,5b       4c< 2b-1     (1) D = b^2 -4c >0 b^2 > 4c Если мы теперь заменим 4с на выражение заведомо большее, а именно (2b-1), и докажем что неравенство для дискриминанта верно для любого b, то задача будет доказана. b^2 > 2b-1 (b-1)^2 >0     Вообще то (b-1)^2>=0. Но для неравенства b^2 > 4c знак уже будет строго больше для любого b. Значит при соблюдении условия (1) дискриминант положителен. То есть уравнение имеет два различных действительных корня.  Ч.Т.Д 2)кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13) = кор[(x-2)^2  +  (y+1)^2] + + кор[(x+2)^2  +  (y-3)^2]. Под корнями стоят заведомо неотрицательные числа. И приравняв 0 подкоренные выражения, получим две точки: (2; -1) и (-2; 3). Проверим значение выражения в этих точках и выберем минимальное: Z(2; -1) = 4кор2. Z(-2; 3) = 4кор2 Ответ: 4кор2   (если строго, то надо считать частные производные ф-ии Z(x,y), приравнивать их нулю и исследовать критические точки. Данное решение - чисто на интуитивном уровне. Ответ может быть другим.) 3) 2x^2 - 3x - 1 = 0     x^2 - 3x/2 - 1/2 = 0   x1x2 = -1/2, x1+x2 = 3/2 Преобразуем искомое выражение: (x1^2 + x1^3 + x2^2 + x2^3) / (1+x1+x2+x1x2) = ((x1^3 + x2^3) +((x1+x2)^2- - 2x1x2))/(1+x1+x2+x1x2) = ((x1+x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2) + (9/4 + 1))/(1+3/2 -1/2) = ((3/2)((x1+x2)^2 -3x1x2)  + 13/4) /2 = ((3/2)(9/4  +  3/2) + 13/4) /2 = 71/16 Ответ: 71/16