1)y'=cos3x. 2)y"-8y'+16y=0 rewit def uravneniya. Zhiraffe27 ??!

[latex]1)y'=cos3x[/latex] [latex]y=\int{cos3x}\,dx[/latex] Сделаем замену: 3x=u ->3dx=du: [latex]y=\frac{1}{3}\int{cos(u)}\,du=\frac{1}{3}sin(u)+C_1[/latex] [latex]y=\frac{1}{3}sin(3x)+C_1[/latex] [latex]2)y''-8y'+16y=0[/latex] Допустим, что решение будет пропорционально [latex]e^{{\lambda}x}[/latex] для некоторой [latex]\lambda[/latex]. Заменим [latex]y=e^{{\lambda}x}[/latex] в диф. уравнение: [latex](e^{{\lambda}x})''-8(e^{{\lambda}x})'+16e^{{\lambda}x}=0[/latex] [latex]\lambda^2e^{{\lambda}x}-8\lambda}e^{{\lambda}x}+16e^{{\lambda}x}=0[/latex] [latex]e^{{\lambda}x}(\lambda^2-8\lambda+16)=0[/latex] [latex]\lambda^2-8\lambda+16=0[/latex] [latex](\lambda-4)^2=0[/latex] [latex]\lambda_1=4[/latex] [latex]y_1=c_1e^{4x}[/latex] [latex]\lambda_2=4[/latex] [latex]y_2=c_2e^{4x}[/latex] [latex]y=y_1+y_2=c_1e^{4x}+c_2e^{4x}[/latex]