3.2 3.14..............................................

3.2 В треугольник с углами 30º, 70º, и 80º вписан круг. Найти углы треугольника, вершины которого являются точки касания вписанного круга со сторонами данного треугольника.  Пусть в треугольнике АВС угол А=80º, угол В=30º, угол С=70º Точки касания: на АВ-К, на ВС- М, на АС - Н; центр круга - О.  Соединим центр круга с точками касания.  Радиусы ОК, ОМ, ОН, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам ∆ АВС и образуют с ними углы 90º. Сумма углов четырехугольника 360º. Отсюда в четырехугольнике ВКОМ центральный угол КОМ=360º-2•90º-30º=150º Величина вписанного угла КНМ, опирающегося на ту же дугу, равна половине угла КОМ.  Угол КНМ =150º:2=75º Аналогично в четырехугольнике АКОН угол КОН=100º, а вписанный угол КМН=100º:2=50º В четырехугольнике МОНС угол МОН=110º, а вписанный угол МКН=110:2=55º Углы треугольника КМН равны 75º, 50º, 55º, и их сумма равна 180º ________________  3.14. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,  выражается формулой r=(a+b-c):2, где r- радиус вписанного круга. а и b - катеты, с - гипотенуза.  Начертим прямоугольный треугольник АВС, центр вписанного круга О, точки его касания со сторонами  на АС-М, на АВ- К, на СВ -Н Пусть АС=а, ВС=b, АВ=с.А Для вписанного круга стороны треугольника - касательные.  Отрезки касательных от точки вне круга до точек касания равны.  АМ=АК=а-r,  NH+BK=b-r.⇒ AB=с= a-r+b-r=a+b-2r c=a+b-2r 2r=a+b-c r=(a+b-c):2, что и требовалось доказать.