70 БАЛЛОВ. ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом А и меньшим основанием ВС=1. Окружность с центром в точке О касается прямой ВС в точке С и проходит через точки А и D, угол CDA=60° найдите длину CD

∠A = ∠B = 90° AO = OC = OD (т.к. они являются радиусами окружности) H - точка пересечения OC и AD, CH ⊥ AD. ΔAOD - равнобедренный (AO = OD). OH - высота, биссектриса и медиана. Т.к. ОН - медиана, то AH = HD. AH = BC = HD = 1. ΔHCD - прямоугольный, ∠DHC = 90°, ∠CDH = 60° ∠HCD + ∠DHC +  ∠CDH = 180° ∠HCD = 180° - 90° - 60° ∠HCD = 30° Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.  HD = 1/2 * CD  CD = 2 * HD CD = 2 * 1 = 2 Ответ: 2

  Проводим высоту СН. Точка О - центр окружности лежит на СН - прямая перпендикулярная в точке касания к окружности проходит через её центр.   ВС=АН=1.   AD - хорда окружности.   АН=AD=1 - прямая из центра окружности перпендикулярная хорде делит её пополам.   Из ΔСНD - ∠С=30° ⇒ СD=2*1=2 ед.