А(4;-6) В(6;4 корень из 6) В задачах 36—40 даны координаты точек А (х1;у1) и В (х2;y2). Требуется: 1) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абс...

1) Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс. А(4;-6), В(6;4√6) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: [latex] \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 [/latex]. Подставим координаты известных точек: [latex] \frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2}=1, [/latex] [latex] \frac{36}{a^2}- \frac{96}{b^2}=1. [/latex] Приводим к общему знаменателю и получаем систему: {16b² - 36a² = a²b², {36b² - 96a² = a²b². Отсюда 16b² - 36a² = 36b² - 96a²                 60a² = 20b²                     b² = 3a². Заменим b² в уравнении гиперболы: [latex] \frac{16}{a^2}- \frac{36}{3a^2} =1, [/latex] [latex] \frac{16}{a^2}- \frac{12}{a^2}=1, [/latex] a² = 4, b² = 3*4 = 12. Ответ: [latex] \frac{x^2}{4}- \frac{y^2}{12}=1 [/latex] 2) Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы. a - действительная полуось, b - мнимая полуось гиперболы. Они уже найдены: a² = 4, а = +-2 b² = 3*4. b = +-2√3. c - фокусное расстояние. c = √(a² + b²) = √(4 + 12) = √16 = +-4. Координаты фокусов: F₁(-4;0), F₂(4;0). Точки A₁(-2;0) и A₂(2;0) (называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы. Эксцентриситет ε = c / a = 4 / 2 = 2 Асимптоты y = +-(b / a). y₁ = (2√3) / 2 = √3 y₂ = -(2√3) / 2 = -√3. 3) Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы. Для этого надо решить систему уравнений гиперболы и окружности. [latex] \left \{ {{\frac{x^2}{4}- \frac{y^2}{12}=1 } \atop {x^2+y^2=16}} [/latex] Ответ: х = +-√7             у = +-3. 4) Построить гиперболу, ее асимптоты и окружность - смотри приложение (асимптоты не показаны - самому дополнить).