A,b,c - стороны треугольник, а S-его площадь. Докажите, что а) S≤[latex] \frac{1}{2}ab [/latex] b) S≤[latex] \frac{1}{6} (ab+ac+bc) [/latex] c) S≤[latex]\frac{1}{2} ( a^{2}+ b^{2} + c^{2} )[/latex]

Question

A,b,c - стороны треугольник, а S-его площадь. Докажите, что а) S≤[latex] \frac{1}{2}ab [/latex] b) S≤[latex] \frac{1}{6} (ab+ac+bc) [/latex] c) S≤[latex]\frac{1}{2} ( a^{2}+ b^{2} + c^{2} )[/latex]

Гость

Ответ(ы) на вопрос:

Accepted Answer

S=1/2·ab·sinC≤ab/2. Значит S≤bc/2, S≤ac/2. Сложим их: 3S≤(ab+bc+ac)/2, получаем б). Т.к. ab≤(a²+b²)/2, то S≤(ab+bc+ac)/6≤((a²+b²)+(b²+c²)+(a²+c²))/12=(a²+b²+c²)/6.