Аня нарисовала квадрат ABCD. Затем она построила равносторонний треугольник ABM так, что вершина M оказалась внутри квадрата. Диагональ AC пересекает треугольник в точке K. Докажите, что CK = CM.

Очевидно что вершина [latex]M[/latex] будет симметрична относительно сторона [latex]AD;BC[/latex] , и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. Положим что сторона квадрата равна [latex]x[/latex] .  Так как треугольник [latex]ABM[/latex]- равносторонний , следует что  [latex]MBC=90а-60а=30а[/latex] , [latex]BCK= \frac{90а}{2}=45а[/latex].  [latex]AM=BM=x[/latex]  [latex]BK=x*\frac{sin45а}{sin(180а-45а-30а)}=(\sqrt{3}-1)x[/latex]  Тогда [latex]MK=x-BK=x(2-\sqrt{3})[/latex]  [latex]BH=\frac{2x}{\sqrt{3}}\\ HC=\frac{x}{\sqrt{3}}[/latex]   то есть [latex]HM=BH-x=\frac{x(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}[/latex]  откуда  [latex]CM=\sqrt{2-\sqrt{3}}x[/latex]  Теперь положим что [latex]CK=CM[/latex]  верно , тогда должно выполнятся условие  [latex]KCM+MCH=45а[/latex]  найдем эти углы  по теореме косинусов подставим известные величины  [latex]MK^2=2CK^2-2CK^2*cosKCM\\ HM^2=CK^2+HC^2-2*CK*HC*cosMCH[/latex] откуда     [latex] KCM+MCH=arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+arccos(\frac{1}{2*\sqrt{2-\sqrt{3}}}) =30а+15а=45а [/latex] то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно   [latex]CK=CM[/latex]