Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены 2 взаимно перпендикулярные прямые. Доказать, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата, являются вершинами еще одного квадрата.Через точку пересечения диагонал...

Диагонали АС и BD - равны и перпендикулярны.  Продолжаем прямые  OF и OE до пересечения с противоположными сторонами и получаем перпендикулярные прямые FK и ME. Получаем секущую прямую между двумя параллельными сторонами. Четыре треугольника - равны - AFM, BEF, CKE, DMK. Значит равны и их гипотенузы - стороны четырехугольника FEKM. Получили фигуру  - стороны равны, диагонали и равны и перпендикулярны -  фигура = квадрат.