Через вершину А треугольника АBC к стороне BC проведены прямые AD и AE. Одна из них образует со стороной  AB угол,равный углу C,а другая со стороной  AC угол,равный углу B. Докажите,что треугольник ADE равнобедренный.

Пусть [latex]\angle BAD = \angle C = \gamma[/latex],  [latex]\angle EAC = \angle B = \beta [/latex]. Из треугольника ABD [latex]\angle BDA = 180 ^{\circ} - (\angle BAD + \angle B) = 180^{\circ} - (\gamma + \beta)[/latex]. Из треугольника CAE [latex]\angle AEC= 180 ^{\circ} - (\angle C+ \angle EAC) = 180^{\circ} - (\gamma + \beta)[/latex]. Рассмотрим треугольник ADE. Так как углы BDA и ADE - смежные, то [latex]\angle ADE= 180 ^{\circ} - \angle BDA = 180^{\circ} - (180^{\circ}-(\gamma + \beta)) = \gamma + \beta[/latex]. Аналогично, углы AEC и AED - смежные, значит, и  [latex]\angle AED= 180 ^{\circ} - \angle AEC = 180^{\circ} - (180^{\circ}-(\gamma + \beta)) = \gamma + \beta[/latex]. Получаем равные значения для углов ADE и AED, что позволяет нам сделать вывод - треугольник ADE - равнобедренный.